二分查找

发表于 分类于 ， 阅读次数： Waline： 本文字数： 4.7k 阅读时长 ≈ 4 分钟

对于寻找左右边界的二分搜索，常见的手法是使用左闭右开的搜索区间，但是为了方便记忆，全部统一为两端都闭。

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int binary_search(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1; 
    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1; 
        } else if(nums[mid] == target) {
            // 直接返回
            return mid;
        }
    }
    // 直接返回
    return -1;
}
//左边界
int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 别返回，锁定左侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 最后要检查 left 越界的情况
    if (left >= nums.length || nums[left] != target) {
        return -1;
    }
    return left;
}

//右边界
int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 别返回，锁定右侧边界
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 最后要检查 right 越界的情况
    if (right < 0 || nums[right] != target) {
        return -1;
    }
    return right;
}

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

进阶：

你可以设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题吗？

示例：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

思路：

二分查找的时间复杂度为O(logN)，我们只需要调用两次，分别查找左边界和右边界。

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class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        return {left_bound(nums, target), right_bound(nums, target)};
    }
    int left_bound(vector<int>& nums, int target){
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while(left <= right){
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target){
                left = mid + 1;
            }else if(nums[mid] > target){
                right = mid - 1;
            }else{
              	//收缩右边界
                right = mid - 1;
            }
        }
        //检查出界情况
        if(left >= nums.size() || nums[left] != target){
            return -1;
        }
        return left;
    }
    int right_bound(vector<int>& nums, int target){
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while(left <= right){
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target){
                left = mid + 1;
            }else if(nums[mid] > target){
                right = mid - 1;
            }else{
              	//收缩左边界
                left = mid + 1;
            }
        }
        //检查出界情况
        if(right < 0 || nums[right] != target){
            return -1;
        }
        return right;
    }
};

35. 搜索插入位置

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例：

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

思路：

前面我们讲过了数组中寻在目标元素重复的情况，现在是目标元素不存在的情况。

当目标元素target不存在数组nums中时，搜索左侧边界的二分搜索的返回值可以做以下几种解读：

  • 返回的这个值是 nums 中⼤于等于 target 的最⼩元素索引。
  • 返回的这个值是 target 应该插⼊在 nums 中的索引位置。
  • 返回的这个值是 nums 中⼩于 target 的元素个数。

⽐如在有序数组 nums = [2,3,5,7] 中搜索 target = 4，搜索左边界的⼆分算法会返回 2，你带⼊上⾯ 的说法，都是对的。

我们现在需要的正是第二种

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class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        return left_bound(nums, target);
    }
    int left_bound(vector<int>& nums, int target){
        int left = 0, right = nums.size();//需要注意
        //需要注意不能等于
        while(left < right){
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target){
                left = mid + 1;
            }else if(nums[mid] > target){
                //这里也需要注意
                right = mid;
            }else{
                right = mid;
            }
        }
        return left;
    }
};

以上几点需要注意，因为我们需要的是要插入的位置。